Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)
Câu hỏi
Nhận biếtCho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
T = 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)
Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 – 3(a + b)(b + c)(c + a)
=1 - 3(1 - c)(1 - a)(1 - b) = 1 - 3(ac + bc + ca – abc)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) = 1 - 2(ab + bc + ca)
Do đó: T = 5 - 6[2(ab + bc + ca)- 3abc]
Đặt S = 2(ab + bc + ca) – 3abc. Ta tìm giá trị lớn nhất của S
Ta có S = ab(2 - 3c) + 2c (a + b)
Nếu 2 – 3c < 0 ⇔ c > 
thì S < 2c(a + b)
Nếu 2 - 3c >0 ⇔ c < thì S = ab(2 - 3c) + 2c(a + b) > 2c(a + b)
Suy ra: Chỉ cần xét 0 < c <
Ta có S = 2c(1 - c) + (2 - 3c)ab ≤ 2c(1 - c) + (2 - 3c)(
;
a + b = 1- c => S ≤ 
Xét hàm số f(c) = -3c3 + c + 2 trên (0; )
Ta được: f(c) ≤ f(
) = 
=> S ≤ 
. Dấu = xảy ra khi a = b = c =
Vậy: MinT = 
xảy ra khi a = b = c =
T = 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)
Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 – 3(a + b)(b + c)(c + a)
=1 - 3(1 - c)(1 - a)(1 - b) = 1 - 3(ac + bc + ca – abc)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) = 1 - 2(ab + bc + ca)
Do đó: T = 5 - 6[2(ab + bc + ca)- 3abc]
Đặt S = 2(ab + bc + ca) – 3abc. Ta tìm giá trị lớn nhất của S
Ta có S = ab(2 - 3c) + 2c (a + b)
Nếu 2 – 3c < 0 ⇔ c > thì S < 2c(a + b)
Nếu 2 - 3c >0 ⇔ c < thì S = ab(2 - 3c) + 2c(a + b) > 2c(a + b)
Suy ra: Chỉ cần xét 0 < c <
Ta có S = 2c(1 - c) + (2 - 3c)ab ≤ 2c(1 - c) + (2 - 3c)(;
a + b = 1- c => S ≤
Xét hàm số f(c) = -3c3 + c + 2 trên (0; )
Ta được: f(c) ≤ f() = => S ≤ . Dấu = xảy ra khi a = b = c =
Vậy: MinT = xảy ra khi a = b = c =
Câu hỏi liên quan
-
Tính tích phân I=
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Giải phương trình
=
-
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=