Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 65050

 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạch bên và mặt đáy bằng 60^{0}. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạch bên và

Câu hỏi

Nhận biết

 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạch bên và mặt đáy bằng 60^{0}.

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.


Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO vuông góc với (ABCD) và SO là trục của hình vuông ABCD.

=>OA là hình chiếu của SA lên (ABCD)

=>\widehat{(SA,(ABCD))}=\widehat{(SA,OA)}=\widehat{SAO}=60^{\circ}

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}

và S_{ABCD}= a^{2}

Xét tam giác SAO có: SO = OA.tan60 = \frac{a\sqrt{6}}{2}

Do đó: V=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.a^{2}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{6}

b) Gọi M là trung điểm của SA. Trong (SAC), dựng đường thẳng d qua M, vuông góc SA và cắt SO tại I.

Do d là trung trực của SA và SO là trục của đáy nên:

              I=d\cap SO =>IA=IB=IC=ID=IS

                                =>I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Xét \Delta SAO ta được: SA=\frac{OA}{cos60^{\circ}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.2=a\sqrt{2}\Rightarrow SM=\frac{a\sqrt{2}}2{}

\Delta SMI\sim \Delta SOA\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{SO}\Rightarrow SI=\frac{SM}{SO}.SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2}{a\sqrt{6}}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R=SI=\frac{a\sqrt{6}}{3}

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết