Skip to main content

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -2) , B(-3; 7; -18), C(1; -2; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2  - 2MB2 – 3MC2 có giá trị lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -2) , B(-3; 7; -18), C(1; -2; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2  - 2MB2 – 3MC2 có giá trị lớn nhất.


A.
 M(\frac{5}{2}-\frac{1}{4}-\frac{25}{4}).
B.
 M(\frac{5}{2}-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}).
C.
 M(\frac{5}{2}\frac{5}{4}-\frac{25}{4}).
D.
 M(\frac{5}{2}\frac{1}{4}-\frac{25}{4}).
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Tìm I (x0; y0; z0) sao cho \overrightarrow{IA}  -  2\overrightarrow{IB}  -  3\overrightarrow{IC}  = \overrightarrow{0} . Ta có:

     \overrightarrow{IA} = (1 – x0; 3 – y0; -2 – z0)  

     \overrightarrow{IB} = (-3 – x0; 7 – y0; -18 – z0

     \overrightarrow{IC} =  (1 – x0; -2 – y0; 1 – z0)

Do đó \overrightarrow{IA}  -  2\overrightarrow{IB}  -  3\overrightarrow{IC}  = \overrightarrow{0}.

 ⇔ \left\{\begin{matrix} -1-x_{0}+6+2x_{0}-3+3x_{0}=0\\3-y_{0}-14+22y_{0}+6+3y_{0}=0 \\-2-z_{0}+36+2z_{0}-3+3z_{0}=0 \end{matrix}\right.  ⇔ \left\{\begin{matrix} x_{0}=-\frac{1}{2}\\y_{0}=\frac{5}{4} \\z_{0}=-\frac{31}{4} \end{matrix}\right.

=> I(-\frac{1}{2}\frac{5}{4}-\frac{31}{4})

Ta có: MA2  - 2MB2 – 3MC2 = ( \overrightarrow{MI}  +  \overrightarrow{IA})2  -  2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} )2  -  3(\overrightarrow{MI} +  \overrightarrow{IC} )2  

= -4MI2 + Q (Q = IA2 -2IB2 – 3IC2).

Vậy P lớn nhất  ⇔ MI nhỏ nhất  ⇔ M là chân đường vuông góc từ I xuống mặt phẳng (P). Lại có \overrightarrow{n_{P}} = (2; -1; 1) nên đường qua I vuông góc (P) có phương trình là:

             \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4}+t \end{matrix}\right.

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình:

  \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4} \\2x-y+z+1=0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4} \\-1+4t-\frac{5}{4}+t-\frac{31}{4}+t+1=0 \end{matrix}\right.

 ⇔ t = \frac{3}{2} => M(\frac{5}{2}-\frac{1}{4}-\frac{25}{4}).

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.