Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 58171

Cho  x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 +z 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = \frac{x^{5}-2x^{3}+x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{5}-2y^{3}+y}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{5}-2z^{3}+z}{x^{2}+y^{2}}

Cho x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 +z 2 =1. Tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho  x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 +z 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = \frac{x^{5}-2x^{3}+x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{5}-2y^{3}+y}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{5}-2z^{3}+z}{x^{2}+y^{2}}


A.
MaxP = \frac{2\sqrt{5}}{3}
B.
MaxP = - \frac{2\sqrt{3}}{3}
C.
MaxP = \frac{2\sqrt{3}}{3}
D.
MaxP = \frac{2\sqrt{7}}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Do x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 =1 nên x, y, z ∊ (0;1)

Ta có  \frac{x^{5}-2x^{3}+x}{y^{2}+z^{2}}=\frac{x(x^{2}-1)}{1-x^{2}}= -x3 + x

Khi đó P = (-x3 + x) + (-y3 + y)+ (-z3 + z)

Xét hàm số f(t) = -t3 + t, t ∊ (0;1)

f’(t)  = -3t2 + 1

\left\{\begin{matrix} f'(t)=0\\ t\in (0;1) \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} -3t^{2}+1=0\\ t\in (0;1) \end{matrix}\right. <=> t = \frac{1}{\sqrt{3}}

Lập bảng biến thiên suy ra max f(t) = \frac{2\sqrt{3}}{9}

P ≤ \frac{2\sqrt{3}}{3}. Vậy giá trị lớn nhất của biếu thức P là \frac{2\sqrt{3}}{3} đạt được khi x = y = \frac{1}{\sqrt{3}}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết