Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 42265

Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức (C_{n}^{1})^{2}+2(C_{n}^{2})^{2}+3(C_{n}^{3})^{2}+...+(n-1)((C_{n}^{n-1})^{2}+n(C_{n}^{n})^{2}=\frac{n}{2}C_{2n}^{n}

Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức +2+3+...+(n-1)(+n=

Câu hỏi

Nhận biết

Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức

(C_{n}^{1})^{2}+2(C_{n}^{2})^{2}+3(C_{n}^{3})^{2}+...+(n-1)((C_{n}^{n-1})^{2}+n(C_{n}^{n})^{2}=\frac{n}{2}C_{2n}^{n}


A.
Click vào đáp án để xem 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt S = 0.{\left( {C_n^0} \right)^2} + 1.{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2{\left( {C_n^2} \right)^2} + 3{\left( {C_n^3} \right)^2} + ... + \left( {n - 1} \right){\left( {C_n^{n - 1}} \right)^2} + n{\left( {C_n^n} \right)^2}

Ta có 2S =n.\left[ e_{\left( {C_n^0} \right)}^2} + e_\left( {C_n^1} \right)}^2} + e_\left( {C_n^2} \right)}^2} + {{\left( {C_n^3} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^{n - 1 \right)}^2} + e_\left( {C_n^n} \right)}^2 \right]

Khai triển hai nhị thức (1 + x)n (1 + x)n và (1 + x)2n rồi so sánh hệ số của  xn ta được

{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + .... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1 + C_n^n{x^n}

{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^n{x^n} + C_n^{n - 1}{x^{n - 1 + C_n^{n - 2}{x^{n - 2}} + .... + C_n^1{x^1} + C_n^0

{\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = ...\left[ e_{\left( {C_n^0} \right)}^2} + e_\left( {C_n^1} \right)}^2} + e_\left( {C_n^2} \right)}^2} + ...{{\left( {C_n^{n - 1 \right)}^2} + e_\left( {C_n^n} \right)}^2 \right]{x^n} + ...,

do C_n^k = C_n^{n - k}

{\left( {1 + x} \right)^{2n = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + ... + C_{2n}^n{x^n} + .... + C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1 + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}

{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + {\left( {C_n^3} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^{n - 1}} \right)^2} + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết