Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 36580

Giải hệ phương trình :  \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x \end{matrix}\right. (x,y ∈ R)

Giải hệ phương trình :

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình : 

\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x \end{matrix}\right. (x,y ∈ R)


A.
(x ; y) = (1 ;-1)
B.
(x ; y) = (-1 ; -2)
C.
(x ; y) = (1 ; 2)
D.
(x ; y) = (1 ; -2)
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\: \, (1)\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x\, \, \, (2)\end{matrix}\right.

Điều kiện : y - xy + 9 ≥ 0 

PT (1) ⇔ (x + 1) + \sqrt{(x+1)^{2}+1} = -y + \sqrt{(-y)^{2}+1}

Xét hàm số : f(t) = t + \sqrt{t^{2}+1} trên R

Chứng minh f(t) đồng biến trên R ta được x + 1 = -y

Phương trình (2) trở thành : \sqrt{x^{2}+8}-\sqrt{x^{2}+3} = 2013x - 2012   (3)

  ∀x ∈ R có x2+ 8 > x2+ 3 => 2013x – 2012 > 0 => x >0

Phương trình (3) ⇔(\sqrt{x^{2}+8}-3)-(\sqrt{x^{2}+3}-2) - 2013(x - 1) = 0

⇔ (x - 1)[\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}-3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}-2}-2013] = 0

Đặt T = \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}-3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}-2} - 2013

Vì x > 0 nên T < 0 do đó x - 1= 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; -2)

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết