Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 21251

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA. Mặt bên (ABB'A') hợp với mặt đáy(ABC) một góc bằng 60^{\circ}. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC'. 

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA. Mặt bên (ABB'A') hợp với mặt đáy(ABC) một góc bằng 60^{\circ}. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC'. 


A.
V=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2} và d(CC';AB) = \frac{a\sqrt{3}}{6}
B.
V=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2} và d(CC';AB) = \frac{a\sqrt{3}}{2}
C.
V=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6} và d(CC';AB) = \frac{a\sqrt{3}}{6}
D.
V=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6} và d(CC';AB) = \frac{a\sqrt{3}}{2}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi D là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB.

Ta có: AB ⊥ DH và AB ⊥ A'H

nên: AB ⊥ (A'HD)

=> Góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và (ABC) là góc A'DH.

Ta có: A'H = DH.tan60^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}.BA.BC=\frac{a^{2}}{2}

Do đó: V_{ABC.A'B'C'}=S_{\bigtriangleup ABC}.A'H=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}

d(CC';AB) = d(CC';(ABB'A')) = d(C;(ABB'A') = 3d(H;(ABB'A'))

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh A'D.

Ta có: AB ⊥ (A'HD) => AB ⊥ KH

Mặt khác: HK ⊥ A'D nên HK ⊥ (A'AD)

do đó: d(H;(ABB'A')) = HK

Ta có: HK=HD.sin60^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{6} => d(CC';AB) = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết