Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 31203

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có: \begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá

Câu hỏi

Nhận biết

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:

\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

Với k = 1 ta có \frac{3}{1.2}=1+1-\frac{1}{2}

     k = 2 ta có \frac{7}{2.3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}

    ...........

    k = n ta có \frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

Cộng n đẳng thức ta thu được 

Dễ thấy n < n + 1 -\frac{1}{n+1} < n +1

=> \begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n

Chú ý: Có thể giải cách khác như sau: \frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}+\frac{k}{k+1}

Với k = 1 ta có \frac{3}{1.2}=1+\frac{1}{2}

     k = 2 ta có \frac{7}{2.3}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}

      ...........

     k = n ta có \frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}

Cộng n đẳng thức ta thu được \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=n+\frac{n}{n+1}

Suy ra \begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix} = n

Câu hỏi liên quan

  • Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết
  • Cho biểu thức A = (

    Cho biểu thức A = ( frac{x^{2}}{x^{3}-4x} - frac{6}{3x-6} + frac{1}{x+2}) : ( x - 2 + frac{10-x^{2}}{x+2})

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Rút gọn A

    Rút gọn A

    Chi tiết