Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = 
, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu hỏi
Nhận biếtVới a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta chứng minh bất đẳng thức
≥ 
với mọi a,b ϵ R (1)
Bình phương hai vế (1) ta thu được
≥ 2 + 2a2b2
<=> (1 + a4)(1 + b4) ≥ (1 + a2b2)2
<=> (a2 – b2)2 ≥ 0 (hiển nhiên đúng)
Ta có (1 + a)(1 + b) = 
<=> a + b +ab = 
;
a2 + b2 ≥ 2ab ; 
≥ 2a ; 
≥ 2b
Cộng vế với vế của 3 bất phương trình trên ta được:
3(a2 + b2) + 1 ≥ 2(a + b +ab) = 
=> a2 + b2 ≥ 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ≥ 
Vậy đạt được khi và chỉ khi a = b = c =
Ta chứng minh bất đẳng thức
≥ với mọi a,b ϵ R (1)
Bình phương hai vế (1) ta thu được
≥ 2 + 2a2b2
<=> (1 + a4)(1 + b4) ≥ (1 + a2b2)2
<=> (a2 – b2)2 ≥ 0 (hiển nhiên đúng)
Ta có (1 + a)(1 + b) = <=> a + b +ab = ;
a2 + b2 ≥ 2ab ; ≥ 2a ; ≥ 2b
Cộng vế với vế của 3 bất phương trình trên ta được:
3(a2 + b2) + 1 ≥ 2(a + b +ab) = => a2 + b2 ≥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ≥
Vậy đạt được khi và chỉ khi a = b = c =
Câu hỏi liên quan
-
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
-
Giải hệ phương trình
-
Giải phương trình với a = -2
-
Tính giá trị biểu thức của A với x =
-
Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Giải phương trình (1) khi m = -5
-
Tìm b để A =
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên