Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 59236

Với 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: \frac{x}{1 + y + zx} + \frac{y}{1 + z + xy} + \frac{z}{1 + x + zy} = \frac{3}{x + y + z}

Với 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:  +  +

Câu hỏi

Nhận biết

Với 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

\frac{x}{1 + y + zx} + \frac{y}{1 + z + xy} + \frac{z}{1 + x + zy} = \frac{3}{x + y + z}


A.
(1, 1, 1)
B.
Vô nghiệm
C.
(0, 0, 0)
D.
(2,2,2)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Do vai trò x, y, z như nhau nên ta giả sử 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1

- Nếu x = 0 => \frac{y}{1 + z } + \frac{z}{1 + zy} = \frac{3}{ y + z}

=> ( \frac{y}{1 + z } - \frac{1}{ y + z}) + ( \frac{z}{1 + zy} - \frac{1}{ y + z}) = \frac{1}{ y + z}

=> \frac{(y - 1)(y + 1 + z)}{(1 + z)(y + z)} + \frac{z^2 - 1}{(1 + yz)(y + z)} = \frac{1}{ y + z}

Ta có VT ≥  0 mà VP < 0 nên trong trường hợp này phương trình vô nghiệm

- Nếu x ≠ 0 mà 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 => (z - 1)(1 - x) ≤ 0

⇔ 1 + zx ≥ x + z > 0 ⇔ x + z - zx - 1 ≤ 0 (đúng với mọi 0 ≤ x ; z ≤ 1

Dấu "=" xảy ra khi x = z = 1

Ta có 1 + zx ≥ x + z ⇔ 1 + y + zx ≥ x + z => \frac{x}{1 + y + zx} ≤ \frac{x}{x + y + z}

Tương tự

 \frac{y}{1 + z + xy}  ≤ 

 

\frac{z}{1 + x + zy}  ≤ \frac{z}{x + y + z}

=> VT = \frac{x}{1 + y + zx} + \frac{y}{1 + z + xy} + \frac{z}{1 + x + zy} ≤ \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1

Mặt khác vì  0 ≤ x ; z; y ≤ 1 => x + y + z ≤ 3

VP = \frac{3}{x + y + z} ≥ 1 dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

Từ đó suy ra VT = VP = 1

=> nghiệm (x, y, z) = (1,1,1)

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Giải phương trình với a = -2

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết
  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết
  • Giải phương trình (1) khi m = -5

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x

    Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết
  • Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2.

    Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1  và x2. Chứng minh rằng:  x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông

    Chi tiết