Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 59236

Với 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: \frac{x}{1 + y + zx} + \frac{y}{1 + z + xy} + \frac{z}{1 + x + zy} = \frac{3}{x + y + z}

Với 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:  +  +

Câu hỏi

Nhận biết

Với 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

\frac{x}{1 + y + zx} + \frac{y}{1 + z + xy} + \frac{z}{1 + x + zy} = \frac{3}{x + y + z}


A.
(1, 1, 1)
B.
Vô nghiệm
C.
(0, 0, 0)
D.
(2,2,2)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Do vai trò x, y, z như nhau nên ta giả sử 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1

- Nếu x = 0 => \frac{y}{1 + z } + \frac{z}{1 + zy} = \frac{3}{ y + z}

=> ( \frac{y}{1 + z } - \frac{1}{ y + z}) + ( \frac{z}{1 + zy} - \frac{1}{ y + z}) = \frac{1}{ y + z}

=> \frac{(y - 1)(y + 1 + z)}{(1 + z)(y + z)} + \frac{z^2 - 1}{(1 + yz)(y + z)} = \frac{1}{ y + z}

Ta có VT ≥  0 mà VP < 0 nên trong trường hợp này phương trình vô nghiệm

- Nếu x ≠ 0 mà 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 => (z - 1)(1 - x) ≤ 0

⇔ 1 + zx ≥ x + z > 0 ⇔ x + z - zx - 1 ≤ 0 (đúng với mọi 0 ≤ x ; z ≤ 1

Dấu "=" xảy ra khi x = z = 1

Ta có 1 + zx ≥ x + z ⇔ 1 + y + zx ≥ x + z => \frac{x}{1 + y + zx} ≤ \frac{x}{x + y + z}

Tương tự

 \frac{y}{1 + z + xy}  ≤ 

 

\frac{z}{1 + x + zy}  ≤ \frac{z}{x + y + z}

=> VT = \frac{x}{1 + y + zx} + \frac{y}{1 + z + xy} + \frac{z}{1 + x + zy} ≤ \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1

Mặt khác vì  0 ≤ x ; z; y ≤ 1 => x + y + z ≤ 3

VP = \frac{3}{x + y + z} ≥ 1 dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

Từ đó suy ra VT = VP = 1

=> nghiệm (x, y, z) = (1,1,1)

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K

    Chi tiết
  • Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x

    Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc

    Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đư

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Cho hệ phương trình:

    Cho hệ phương trình: left{begin{matrix} x + ay = 3a\ ax - y = a^{2}-2 end{matrix}right.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Giải phương trình với a = -2

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết