Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5822

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn ( C ) tâm O, đường kính AB = 2R; M là một điểm di động tren ( C ); H là chân đường vuông góc của M trên AB. Đặt AH = x. Trên đường thẳng vuông góc với ( P ) tại M lấy điểm S sao cho SM = MH. Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S. ABM theo x, R.

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn ( C ) tâm O, đường kính AB = 2R; M là

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn ( C ) tâm O, đường kính AB = 2R; M là một điểm di động tren ( C ); H là chân đường vuông góc của M trên AB. Đặt AH = x. Trên đường thẳng vuông góc với ( P ) tại M lấy điểm S sao cho SM = MH. Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S. ABM theo x, R.


A.
R = \frac{1}{5}\sqrt{-x^{2}+2Rx+4R^{2}}
B.
R = \frac{1}{4}\sqrt{-x^{2}+2Rx+4R^{2}}
C.
R = \frac{1}{3}\sqrt{-x^{2}+2Rx+4R^{2}}
D.
R = \frac{1}{2}\sqrt{-x^{2}+2Rx+4R^{2}}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Nhận xét: Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục của đa giácđáy và mặt phẳng trung trực của cạnh bên bất kỳ.

Xét tứ diện SABM ta coi (ABM) là tam giác đáy thì:

Trục đa giác đáy là đường thẳng qua O và vuông góc với (P) là d ( do (P) ≡ (ABM)).

Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên SM . Mặt phẳng đó cắt mặt phẳng (SM,d) bằng giao tuyến là đường trung trực của SM trong mặt phẳng (SM,d). Đường trung trực đó cắt d ở I => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAMB.

Bán kính mặt cầu đó là: R = IM.

∆OIM vuông ở O => IM = \sqrt{OI^{2}+OM^{2}}  = \sqrt{OI^{2}+R^{2}}(1)

Dễ thấy  = KM = \frac{SM}{2} . Theo giả thiết : SM = MH.

∆MAB vuông ở M, có MH là đường cao kẻ từ đỉnh M vuông:

ð     MH2 = HA.HB = x(2R – x).

Vậy OI =\frac{SM}{2} => OI =\frac{\sqrt{x(2R-x)}}{2}  (2)

Thay (2) vào (1) => IM = \sqrt{(\frac{\sqrt{x(2R-x)}}{2})^{2}+R^{2}} 

= \frac{1}{2}\sqrt{-x^{2}+2Rx+4R^{2}}

Kết luận: Tâm mặt cầu ngoại tiếp SABM là I

Bán kính mặt cầu là: R = IM = \frac{1}{2}\sqrt{-x^{2}+2Rx+4R^{2}}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết