Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 2z - 3 = 0, mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0 và hai điểmA(-1; 1; 0), B(2; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB, vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng √3.
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 2z - 3 = 0, mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0 và hai điểmA(-1; 1; 0), B(2; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB, vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng √3.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Phương trình (S) viết dưới dạng (x - 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 9.
Suy ra (S) có tâm I(2;-1;-1), bán kính R = 3.
Ta có 
= (3; 1; 1), một vecto pháp tuyến của (P) là 
= (1;-1; 1)
Do đó [,] = (2;-2;-4) ≠ 
Gọi 
là một vecto pháp tuyến của mp(α). Ta có:
(α) // AB, (α) ⊥ (P) => ⊥ , ⊥ => cùng phương với
[, ].
Chọn = 
[,] => = (1;-1;-2)
Mp(α) có một vecto pháp tuyến nên có phương trình dạng x - y - 2z + D = 0
Gọi d là khoảng cách từ I đến mp(α)
Mp(α) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính r = √3 nên d = 
= 
= √6
Ta có d = √6 ⇔ 
= √6 ⇔ |5 + D| = 6
⇔ 
Vói D = 1 thì (α):x - y - 2z + 1 = 0 không qua A(-1; 1; 0)
(vì -1 - 1 - 2.0 + 1 ≠ 0) nên (α) // AB.
Tương tự, mp(α): x - y - 2z - 11 = 0 cũng song song với AB.
Vậy có hai mặt phẳng (α) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình:
x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x - y - 2z - 11 = 0
Phương trình (S) viết dưới dạng (x - 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 9.
Suy ra (S) có tâm I(2;-1;-1), bán kính R = 3.
Ta có = (3; 1; 1), một vecto pháp tuyến của (P) là = (1;-1; 1)
Do đó [,] = (2;-2;-4) ≠
Gọi là một vecto pháp tuyến của mp(α). Ta có:
(α) // AB, (α) ⊥ (P) => ⊥ , ⊥ => cùng phương với
[, ].
Chọn = [,] => = (1;-1;-2)
Mp(α) có một vecto pháp tuyến nên có phương trình dạng x - y - 2z + D = 0
Gọi d là khoảng cách từ I đến mp(α)
Mp(α) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính r = √3 nên d = = = √6
Ta có d = √6 ⇔ = √6 ⇔ |5 + D| = 6
⇔
Vói D = 1 thì (α):x - y - 2z + 1 = 0 không qua A(-1; 1; 0)
(vì -1 - 1 - 2.0 + 1 ≠ 0) nên (α) // AB.
Tương tự, mp(α): x - y - 2z - 11 = 0 cũng song song với AB.
Vậy có hai mặt phẳng (α) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình:
x - y - 2z + 1 = 0 hoặc x - y - 2z - 11 = 0
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Tính tích phân I=
-
Giải phương trình
=
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Tính tích phân I =
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=