Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng / Câu hỏi 966

Tính tích phân I=\int_{1}^{e}(\frac{1}{x\sqrt{1+3lnx}}+2)lnxdx

Tính tích phân I=

Câu hỏi

Nhận biết

Tính tích phân I=\int_{1}^{e}(\frac{1}{x\sqrt{1+3lnx}}+2)lnxdx


A.
I=\frac{62}{27}
B.
I=\frac{52}{27}
C.
I=-\frac{62}{27}
D.
I=\frac{27}{62}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có I=\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x\sqrt{1+3lnx}}dx+2\int_{1}^{e}lnxdx

Tính I1=\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x\sqrt{1+3lnx}}dx

Đặt t=\sqrt{1+3lnx} ⇔ lnx=\frac{t^{2}-1}{3}

Suy ra dt=\frac{3}{2x\sqrt{1+3lnx}}dx. Khi x=1 thì t=1, khi x=e thì t=2

Do đó : I1=\int_{1}^{e}\frac{2lnx}{3}.\frac{3}{2x\sqrt{1+3lnx}}dx=\int_{1}^{2}\frac{2(t^{2}-1)}{9}dt

              =\frac{2}{9}(\frac{t^{3}}{3}-t)\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix}=\frac{8}{27}

Tính I2=\int_{1}^{e}lnxdx

Đặt u=lnx, dv=dx. Khi đó du=\frac{dx}{x}, v=x

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có

I2=xlnx\begin{vmatrix}e\\1\end{vmatrix}-\int_{1}^{e}dx=e-(e-1)=1

Vậy I=I1+2I2=\frac{8}{27}+2=\frac{62}{27}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết