Skip to main content

Tính tích phân I=\int_{0}^{2}\frac{dx}{2x+\sqrt{3x^{2}+4}}

Tính tích phân I=

Câu hỏi

Nhận biết

Tính tích phân I=\int_{0}^{2}\frac{dx}{2x+\sqrt{3x^{2}+4}}


A.
I=-4ln2+√3ln(2+√3)
B.
I=-4ln2-√3ln(2+√3)
C.
I=4ln2-√3ln(2+√3)
D.
I=4ln2+√3ln(2+√3)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x=\frac{2}{\sqrt{3}}tanu, u ∈ [0;\frac{\pi}{2})

Khi đó dx=\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{du}{cos^{2}u}. Khi x=0 thì u=0, khi x=2 thì u=\frac{\pi}{3}

Suy ra I=

         \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{du}{(2sinu+\sqrt{3})cosu}

         =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{cosudu}{(2sinu+\sqrt{3})(1-sin^{2}u)}

         = -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{dt}{(t+\frac{\sqrt{3}}{2})(t-1)(t+1)}  (với t = sinu)

         = -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\frac{-4}{t+\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{2-\sqrt{3}}{t-1}+\frac{2+\sqrt{3}}{t+1})dt

         = -\frac{1}{2}(-4ln(t+\frac{\sqrt{3}}{2})+(2-√3)ln|t -1|+(2+√3)ln(t+1))\begin{vmatrix}0\\\frac{\sqrt{3}}{2}\end{vmatrix}

         = 4ln2-√3ln(2+√3)

Vậy I = 4ln2-√3ln(2+√3)

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.