Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng / Câu hỏi 765

Tính tích phân:  I = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{4-3sin2x}dx

Tính tích phân: I =

Câu hỏi

Nhận biết

Tính tích phân:  I = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{4-3sin2x}dx


A.
\frac{\pi }{9}
B.
\frac{\sqrt{6}}{9}
C.
\frac{9}{\sqrt{6}}
D.
\frac{\sqrt{6}.\pi }{9}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: I = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx+cosx}{4-3sin2x}.dx

Đặt t = sinx - cosx ⇒ dt = (cosx + sinx)dx

t2  = 1 - sin2x ⇒ 4 - 3sin2x = 4 - 3( 1 - t2) = 1 + 3t2  

\left.\begin{matrix} x=0 \Rightarrow t=-1\\ x=\frac{\pi }{2} \Rightarrow t=1 \end{matrix}\right\} ⇒ I = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1}\frac{dt}{3t^{2}+1}

Tính  I1 = \int_{-1}^{1}\frac{dt}{3t^{2}+1} :

Đặt t = \frac{1}{\sqrt{3}}tanu ⇒ dt = \frac{1}{\sqrt{3}}(1 + tan2 u)du ; 3t2 + 1 = tan2 u + 1

Do đó:

I = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{-\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} du = \frac{2\pi }{3\sqrt{3}} ⇒ I = \frac{\sqrt{6}.\pi }{9}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết