Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng / Câu hỏi 686

Tính tích phân I =\int_{1}^{2}\frac{x+2lnx}{(x+1)^{3}}dx

Tính tích phân I =

Câu hỏi

Nhận biết

Tính tích phân I =\int_{1}^{2}\frac{x+2lnx}{(x+1)^{3}}dx


A.
 I = ln\frac{4}{3} - \frac{ln2}{9} - \frac{5}{72}
B.
 I = ln\frac{4}{3} + \frac{ln2}{9} - \frac{5}{72}
C.
 I = ln\frac{4}{3} - \frac{ln2}{9} + \frac{5}{72}
D.
 I = -ln\frac{4}{3} - \frac{ln2}{9} - \frac{5}{72}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có I =\int_{1}^{2}\frac{x+2lnx}{(x+1)^{3}}dx

=\int_{1}^{2}(\frac{1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{2lnx}{(x+1)^{3}})dx

= -\frac{1}{x+1}\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix} + \frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)^{2}}\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix} + 2\int_{1}^{2}\frac{lnx}{(x+1)^{3}}dx = \frac{7}{72} + 2J

Tính J = \int_{1}^{2}\frac{lnx}{(x+1)^{3}}dx.

Đặt u = lnx. dv =\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x+1)^{3}}.

Khi đó du = \frac{dx}{x}, v = -\frac{1}{2}.\frac{1}{(x+1)^{2}}

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 

J = -\frac{lnx}{2(x+1)^{2}}\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(x+1)^{2}}

= -\frac{ln2}{18} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}})dx

= -\frac{ln2}{18} + \frac{1}{2}(ln\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1})\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix} = -\frac{ln2}{18} + \frac{1}{2}(ln\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) = -\frac{ln2}{18} + \frac{1}{2}ln\frac{4}{3} - \frac{1}{12}.

Suy ra I = \frac{7}{72} + 2(-\frac{ln2}{18} + \frac{1}{2}ln\frac{4}{3} - \frac{1}{12}) = ln\frac{4}{3} - \frac{ln2}{9} - \frac{5}{72}.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết