Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5422

Tính diện tích miền phẳng D:              \left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\\ y=x.2^{-x} \end{matrix}\right.

Tính diện tích miền phẳng D: &

Câu hỏi

Nhận biết

Tính diện tích miền phẳng D:              \left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\\ y=x.2^{-x} \end{matrix}\right.


A.
\frac{-1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}
B.
\frac{-1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}
C.
\frac{-1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{18}
D.
\frac{1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{18}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Với bài tập này việc vẽ hình là khó thực hiện tuy vậy bằng cách áp dụng đúng lý thuyết chúng ta có thể tính diện tích miền D dễ dàng.

Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Xét phương trình: \frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1} =x.2^{-x}           (*)

Điều kiện: x ≥ -1.

           (*) <=> \left\{\begin{matrix} x=0\\ \frac{1}{24}x\sqrt{x^{3}+1}=2^{-x} \end{matrix}\right.

Nhận thấy trên tập (-1; 0) hệ vô nghiệm.

Trên tập (0; +∞) phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 (hàm số luôn đồng biến trên tập này). Vậy diện tích của miền phẳng là:

           S=\int_{0}^{2}|x.2^{-x}-\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}|dx

             = |\int_{0}^{2}x.2^{-x}-\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}dx|

             = |\int_{0}^{2}(x.2^{-x}dx-\int_{0}^{2}\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1})dx|

 Ta tính I1= \int_{2}^{0}x2^{-x}dx . Tích phân này có thể tính như sau:

Đặt \left\{\begin{matrix} u=x\\dv=2^{-x} dx \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} du=dx\\v=\frac{2^{-x}}{ln2}. \end{matrix}\right. Do đó:

I1= \int_{2}^{0}x2^{-x}dx = -x\frac{2^{-x}}{ln2}|_{0}^{2} +\frac{1}{ln2}\int_{0}^{2}2^{-x}dx

   =-\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{ln2}\frac{-2^{-x}}{ln2}|_{0}^{2} = -\frac{1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}.

I2=\frac{1}{24}\int_{0}^{2}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}dx = \frac{1}{27}\sqrt{x^{3}+1}|_{0}^{2}=\frac{1}{36}

Vậy S =|I1+ I2| = \left | \frac{-1}{2ln2} +\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}\right | = \frac{-1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36} (đvdt)

 

 


 

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết