Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3704

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng: y = 0 và y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1}

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng: y = 0 và y =&nbs

Câu hỏi

Nhận biết

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng: y = 0 và y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1}


A.
S = -1 + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2
B.
S = 1 + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2
C.
S = -1 - \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2
D.
S = -1 + \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}ln2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Tọa độ giao điểm của 2 đường y = 0 và y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1} là A(0 ; 0) ; B(1 ; 0)

Khi đó 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x(1 - x) ≥ 0 ⇒ y = \frac{x(1-x)}{x^{2}+1} ≥ 0

Do diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường đã cho là

S = \int_{0}^{1}\frac{x(1-x)}{x^{2}+1}dx = \int_{0}^{1}\frac{-x^{2}+x}{x^{2}+1}dx = \int_{0}^{1}(-1 + \frac{x+1}{x^{2}+1})dx

= -x|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+1}dx. Ta tính S1 = \int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+1}dx

Đặt: x = tant ⇒ dx = (tan2 t + 1)dt

Đổi cận x = 1 ⇒ t = \frac{\pi }{4} ; x = 0 ⇒ t = 0

⇒ S1 = \int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}+1}dx = \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(tant + 1)dt = [t - ln(cost)]|_{0}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2

Vậy S = -1 + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}ln2 (đvdt)

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết