Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 2017

Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2\bar{z}| và \frac{z+3}{z-3} có một acgumen bằng \frac{\pi}{4}

Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2\bar{z}| và \frac{z+3}{z-3} có một acgumen bằng \frac{\pi}{4}


A.
z = -3 + 6i
B.
z = -3 - 6i
C.
z = 3 + 6i
D.
z = 3 - 6i
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z = x + yi (x,y ∈ R)

Khi đó |1 - 2z| = |i - 2\bar{z}| ⇔ |(2x - 1) + yi| = |2x - (y + 1)i|

⇔ (2x - 1)2+y2 = (2x)2 + (y + 1)2

⇔ -2x = y (1)

Ta cũng có \frac{z+3}{z-3} = \frac{(x+3)+yi}{(x-3)+yi} = \frac{((x+3)+yi)((x-3)-yi)}{(x-3)^{2}+y^{2}}

                           = \frac{x^{2}-9+y^{2}}{(x-3)^{2}+y^{2}}+\frac{-6y}{(x-3)^{2}+y^{2}}i      (2)

Theo bài ra, \frac{z+3}{z-3} có một acgumen bằng \frac{\pi}{4}

nên \frac{z+3}{z-3} = r(cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4}) = \frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{r}{\sqrt{2}}i, r > 0            (3)

 Từ (2) và (3) suy ra \left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-9+y^{2}}{(x-3)^{2}+y^{2}}=\frac{r}{2}\\\frac{-6y}{(x-3)^{2}+y^{2}}=\frac{r}{2},r> 0\end{matrix}\right.

=> \left\{\begin{matrix}y< 0\\x^{2}-9+y^{2}=-6y\end{matrix}\right.

Kết hợp (1) ta được \left\{\begin{matrix}-2x=y< 0\\5x^{2}-12x-9=0\end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix}x=3\\y=-6\end{matrix}\right.

Vậy z = 3 - 6i

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết