Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6244

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số    y=  2^{sin^{2}x}+2^{cos^{2}x}

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số    y=  2^{sin^{2}x}+2^{cos^{2}x}


A.
Max y = 3 khi \begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}, min y = 2√2 khi x = \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}  
B.
Max y = 2√2 khi \begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}, min y = 3 khi x = \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}  
C.
Max y = 2√3  khi \begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}, min y = 4 khi x = \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}  
D.
Max y = 4 khi \begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}, min y = 3√2  khi x = \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Có: y = 2^{sin^{2}x}+2^{1-sin^{2}x} =  2^{sin^{2}x}+\frac{2}{2^{sin^{2}x}}

Đặt t =  2^{sin^{2}x}   có sin2x ∈ [0, 1]

=> t ∈ [1, 2]

=> y = t +  \frac{2}{t}. Có y’ = 1  - \frac{2}{t^{2}} 

=> y’ = 0 <=> 1 -  \frac{2}{t^{2}} = 0   <=> t2 = 2 <=> \begin{bmatrix}t=-\sqrt{2}(L)\\t=\sqrt{2}(tm)\end{bmatrix}

=> y(√2) = 2√2

      y(1) = 3

      y(2) = 3

Vậy Min y= 2√2  khi t = √2  <=>  2^{sin^{2}x}   = √2

                                        <=> sin2x = \frac{1}{2}

                                        <=> 2sin2x = 1

                                        <=> cos2x = 0 <=> 2x =  \frac{\pi }{2}  + kπ

                                        <=> x = \frac{\pi }{4}   +k \frac{\pi }{2}

Max y = 3 khi   \begin{bmatrix} t=1\\ t=2 \end{bmatrix}  <=>  \begin{bmatrix} 2^{sin^{2}x}=1\\ 2^{sin^{2}x}=2 \end{bmatrix}  <=> \begin{bmatrix} sin^{2}x=0\\ sin^{2}x=1 \end{bmatrix} 

  <=> \begin{bmatrix} sinx=0\\ cos^{2}x=0 \end{bmatrix}   <=>  \begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}  (k ∈ Z).

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết