Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 1018

Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+4xy+2=0\\2^{x+y+1}=\sqrt{2-2xy}+x+y \end{matrix}\right. (x.y∈R)

Giải hệ phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+4xy+2=0\\2^{x+y+1}=\sqrt{2-2xy}+x+y \end{matrix}\right. (x.y∈R)


A.
(x;y)=(1;-1) hoặc (x;y)=(-1;1)
B.
(x;y)=(2;1) hoặc (x;y)=(3;2)
C.
(x;y)=(1;2) hoặc (x;y)=(3;1)
D.
(x;y)=(0;3) hoặc (x;y)=(3;4)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện: 2-2xy ≥ 0 <=> xy≤ 1.

Đặt u=x+y, v=xy. Khi đó hệ phương trình trở thành

\left\{\begin{matrix} u^{2}+2v+2=0\\2^{u+1}=\sqrt{2-2v}+u \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} 2v=-u^{2}-2(1)\\2^{u+1}=\sqrt{u^{2}+4}+u (2) \end{matrix}\right.

Phương trình (2) <=> 2u+1.(\sqrt{u^{2}+4} - u) = 4 <=> 2u.(\sqrt{u^{2}+4} - u)=2 (3)

Xét hàm f(u)=2u.(\sqrt{u^{2}+4} - u).\left ( ln2-\frac{1}{\sqrt{u^{2}+4}} \right ) > 0 với mọi u ∈ R

Suy ra hàm f đồng biến trên R. Mà ta có f(0)=2 hay u=0 là nghiệm của phương trình (3).

 Do đó u=0 là nghiệm duy nhất của phương trình (3).

Suy ra u = 0, v = -1.

Suy ra \left\{\begin{matrix} x+y=0\\xy=-1 \end{matrix}\right. <=> \begin{bmatrix} x=1, y=-1\\x=-1, y=1 \end{bmatrix}

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;-1) hoặc (x;y) = (-1;1).

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết