Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3722

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.


A.
(x;y)=(3;5)
B.
(x;y)=(1;-1)
C.
(x;y)=(\frac{1}{}2;\frac{1}{}2)
D.
(x;y)=(3;1)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2(x^{2}+2xy+y^{2})+x+y+4y^{2}-4y+1=0 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0 (1)\\(x+y)^{4}-2(x+y)^{2}+(x+y)+(2y-1)^{2}=0 (2)\end{matrix}\right.

Ta có:

(x+y)2  ≥4xy => 2(x+y)3+(x+y)2  -3 ≥ 2(x+y)3+4xy-3

=> 2(x+y)3 +(x+y)2  -3 ≥0

Đặt t=x+y=> 2t3+t-3 ≥0 <=>  2t3-2t2+2t2-2t+3t-3 ≥0

<=> 2(t-1)(t2+1+\frac{3}{2})≥ 0 <=> t-1≥ 0 <=> t≥ 1

Ta viết lại phương trình (2): t4-2t2+t+(2y-1)2 =0

Xét hàm số f(t)= t4-2t2+t, f’(t)=4t3-4t+1>0 \forallt≥ 1

=> f(t) đồng biến trên [1;+∞ ). Vì vậy  \forallt≥1, f(t)≥f(1)=0;

t4-2t2+t+(2y-1)2 =0 <=> f(t)+(2y-1)2 =0 <=> \left\{\begin{matrix} f(t)=0)\\(2y-1)^{2}=0 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} t=1\\2y-1=0 \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} x+y=1\\y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right. => x=y=\frac{1}{2} (thỏa mãn hệ đã cho)

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết