Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 43025

Giải hệ phương trình : \left \{ \begin{matrix} (x-1)\sqrt{y}+(y-1)\sqrt{x}=\sqrt{2xy} \: \: (1)\\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy\: \: \: (2) \end{matrix}

Giải hệ phương trình :

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình :

\left \{ \begin{matrix} (x-1)\sqrt{y}+(y-1)\sqrt{x}=\sqrt{2xy} \: \: (1)\\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy\: \: \: (2) \end{matrix}


A.
x = y = 2
B.
x = y = 1
C.
x = y = 3
D.
x = y = 4
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện x  ≥  1,y  ≥  1 

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:\sqrt{x-1} ≤ \frac{x-1+1}{2} = \frac{x}{2}

 => y\sqrt{x-1} ≤ \frac{xy}{2} (3) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{x-1} = 1

\sqrt{y-1}≤ \frac{y-1+1}{2} = \frac{y}{2} => x\sqrt{y-1} ≤ \frac{xy}{2}(4) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{y-1} = 1

Cộng (3) và (4) theo từng vế ta có x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} ≤ xy.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  \sqrt{x-1} = 1 và \sqrt{y-1} = 1

 <=> x = y = 2 (5)

Do (5) suy ra phương trình (2) của hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2

Thay x = y = 2 vào (1) thỏa mãn .Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết