Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 21728

Chứng minh rằng: \frac{87}{89} < \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+....+ \frac{1}{2011\sqrt{2010}}  <  \frac{88}{45}

Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng:

\frac{87}{89} < \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+....+ \frac{1}{2011\sqrt{2010}}  <  \frac{88}{45}


A.
Click để xem lời giải chi tiết
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có : \frac{1}{(k+1)\sqrt{k})}=\frac{\sqrt{k}}{(k+1)k}=\frac{\sqrt{k}}{k}-\frac{\sqrt{k}}{k+1} > \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}

Từ đó: 

\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+....+ \frac{1}{2011\sqrt{2010}} > (\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}})+(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+...+(\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}) =

= 1-\frac{1}{\sqrt{2011}} > \frac{87}{89}

Ta lại có : 

\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k+1}}.\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}  <\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}.\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}

=\frac{2(\sqrt{k+2}-\sqrt{k})}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}} = 2.(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})

Từ đó : 

\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+....+ \frac{1}{2011\sqrt{2010}}  < 

< 2.\begin{bmatrix} (\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}})+(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+...+(\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}) \end{bmatrix}= 

= 2.(1-\frac{1}{\sqrt{2011}})  < \frac{88}{45}

Câu hỏi liên quan

  • Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2.

    Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1  và x2. Chứng minh rằng:  x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Cho biểu thức A = (

    Cho biểu thức A = ( frac{x^{2}}{x^{3}-4x} - frac{6}{3x-6} + frac{1}{x+2}) : ( x - 2 + frac{10-x^{2}}{x+2})

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc

    Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Rút gọn A

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Cho phương trình: ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Cho phương trình: 

    ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Giải phương trình (1) khi m = -5

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết