Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 57608

Chứng minh rằng: \frac{a +b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}  ≥ \frac{1}{2}  với a, b là các số dương.

Chứng minh rằng:   ≥   với a, b là các số dương.

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng: \frac{a +b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}  ≥ \frac{1}{2}  với a, b là các số dương.


A.
Click để xem lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}=\frac{2(a+b)}{\sqrt{4a(3a+b)}+\sqrt{4b(3b+a)}}

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các số dương ta được:

\sqrt{4a(3a+b)}  ≤ \frac{4a+(3a+b)}{2}=\frac{7a+b}{2}      (2)

\sqrt{4b(3b+a)}  ≤  \frac{4b+(3b+a)}{2}=\frac{7b+a}{2}       (3)

Từ (2)và (3) suy ra: 

 \sqrt{4a(3a+b)}  + \sqrt{4b(3b+a)}  ≤ 4a + 4b    (4)

Từ (1) và (4) suy ra: 

\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}  ≥ \frac{2(a+b)}{4a+4b}=\frac{1}{2}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

Câu hỏi liên quan

  • Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc

    Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Cho phương trình: ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Cho phương trình: 

    ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Cho hệ phương trình:

    Cho hệ phương trình: left{begin{matrix} x + ay = 3a\ ax - y = a^{2}-2 end{matrix}right.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải hệ phương trình với a = 2

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết
  • Giải phương trình với a = -2

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Rút gọn biểu thức A

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết