Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 18580

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1. Chứ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1.

Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}


A.
\sqrt{1-x^{2}}.\sqrt{1-y^{2}}≤ 1- xy;  \sqrt{1-y^{2}}.\sqrt{1-z^{2}} ≤ 1 – yz, \sqrt{1-z^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}≤ 1 + zx
B.
\sqrt{1-x^{2}}.\sqrt{1-y^{2}}≤ 1- xy;  \sqrt{1-y^{2}}.\sqrt{1-z^{2}} ≤ 1 + yz, \sqrt{1-z^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}≤ 1 – zx
C.
\sqrt{1-x^{2}}.\sqrt{1-y^{2}}≤ 1+ xy;  \sqrt{1-y^{2}}.\sqrt{1-z^{2}} ≤ 1 – yz, \sqrt{1-z^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}≤ 1 – zx
D.
\sqrt{1-x^{2}}.\sqrt{1-y^{2}}≤ 1- xy;  \sqrt{1-y^{2}}.\sqrt{1-z^{2}} ≤ 1 – yz, \sqrt{1-z^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}≤ 1 – zx
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có (x – y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 – 2xy  ≥ 0 ⇔ - x2 – y2 ≤ – 2xy

1 – x2 – y2 + x2y2 ≤  1 – 2xy + x2y2 ⇔ (1 – x2)(1 – y2) ≤ (1 – xy)2   (*)

Vì |x|  ≤ 1, |y| ≤ 1 nên 1 – x2 ≥ 0, 1 – y2 ≥ 0, 1 – xy ≥ 0

Từ (*) có \sqrt{1-x^{2}}.\sqrt{1-y^{2}}≤ 1- xy

Tương tự cũng có \sqrt{1-y^{2}}.\sqrt{1-z^{2}} ≤ 1 – yz, \sqrt{1-z^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}≤ 1 – zx

Do đó, ta có: (\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}})2 = 1 – x2 + 1 – y2 + 1 – z2 +2\sqrt{1-x^{2}}.\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}.\sqrt{1-z^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}≤ 3 – x2 – y2 – z2 + 2(1 – xy + 1 – yz + 1 – zx) = 9- (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx) = 9 – (x + y + z)2

Suy ra \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}  ≤ \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc

    Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Rút gọn A

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Cho biểu thức:A =

    Cho biểu thức:

    A = left ( frac{3}{sqrt{b}-1}+frac{sqrt{b}-3}{b-1} right ):left ( frac{b+2}{b+sqrt{b}-2}-frac{sqrt{b}}{sqrt{b}+2} right )

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn A

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Cho biểu thức A = (

    Cho biểu thức A = ( frac{x^{2}}{x^{3}-4x} - frac{6}{3x-6} + frac{1}{x+2}) : ( x - 2 + frac{10-x^{2}}{x+2})

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết