Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 18569

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?


A.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 3.
B.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.
C.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 2.
D.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - y hoặc xy = 1.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}

⇔ \frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^{2}}\geq 0

⇔ \frac{1+x^{2}-1-xy}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{1+y^{2}-1-xy}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0

⇔ \frac{x(x-y)}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{y(y-x)}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0

⇔ x(x – y)(1 + y2) + y(y – x)(1 + x2) ≥ 0

⇔ (x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0

⇔(x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0

⇔(x – y)(x + xy2 – y – x2y) ≥ 0

⇔ (x – y)[(x – y) – xy(x – y)] ≥ 0

⇔ (x – y)2(1 – xy) ≥ 0

(Bất đẳng thức , vì (x – y)2  ≥ 0 và xy ≤ 1 ⇔ 1 – xy ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết
  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết
  • Cho phương trình: ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Cho phương trình: 

    ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình với a = -2

    Chi tiết
  • Chứng minh DM.CE=DE.CM

    Chứng minh DM.CE=DE.CM

    Chi tiết
  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đư

    Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết