Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng 
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
Câu hỏi
Nhận biếtCho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔ x(x – y)(1 + y2) + y(y – x)(1 + x2) ≥ 0
⇔ (x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)(x + xy2 – y – x2y) ≥ 0
⇔ (x – y)[(x – y) – xy(x – y)] ≥ 0
⇔ (x – y)2(1 – xy) ≥ 0
(Bất đẳng thức , vì (x – y)2 ≥ 0 và xy ≤ 1 ⇔ 1 – xy ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.
⇔
⇔
⇔
⇔ x(x – y)(1 + y2) + y(y – x)(1 + x2) ≥ 0
⇔ (x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)(x + xy2 – y – x2y) ≥ 0
⇔ (x – y)[(x – y) – xy(x – y)] ≥ 0
⇔ (x – y)2(1 – xy) ≥ 0
(Bất đẳng thức , vì (x – y)2 ≥ 0 và xy ≤ 1 ⇔ 1 – xy ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.
Câu hỏi liên quan
-
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên
-
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
-
Giải phương trình với a = -2
-
Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông
-
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
-
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a
-
Tính giá trị biểu thức của A với x =
