Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng 
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
Câu hỏi
Nhận biếtCho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔ x(x – y)(1 + y2) + y(y – x)(1 + x2) ≥ 0
⇔ (x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)(x + xy2 – y – x2y) ≥ 0
⇔ (x – y)[(x – y) – xy(x – y)] ≥ 0
⇔ (x – y)2(1 – xy) ≥ 0
(Bất đẳng thức , vì (x – y)2 ≥ 0 và xy ≤ 1 ⇔ 1 – xy ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.
⇔
⇔
⇔
⇔ x(x – y)(1 + y2) + y(y – x)(1 + x2) ≥ 0
⇔ (x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0
⇔(x – y)(x + xy2 – y – x2y) ≥ 0
⇔ (x – y)[(x – y) – xy(x – y)] ≥ 0
⇔ (x – y)2(1 – xy) ≥ 0
(Bất đẳng thức , vì (x – y)2 ≥ 0 và xy ≤ 1 ⇔ 1 – xy ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.
Câu hỏi liên quan
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm
-
Tính giá trị biểu thức của A với x =
-
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Tìm b để A =
-
Giải phương trình với a = -2
-
Cho biểu thức:
A =
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Rút gọn A
-
Cho Parabol (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
-
Chứng minh DM.CE=DE.CM