Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2011. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x(x2 + y) + y(y2 + x)
Câu hỏi
Nhận biếtCho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2011. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x(x2 + y) + y(y2 + x)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Có thể giả sử x > y, => 1006 ≤ x ≤ 2010
Đặt 2011 = a, khi đó
P = (x3 + y3) + 2xy = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = a3 – 3x(a – x)a + 2x(a – x)
= (3a – 2)x2 – (3a2 – 2a)x + a3(3a – 2)(x2 – ax) + a3
= (3a – 2)[(x – 
a)2 – 
a2] + a3
= (3a – 2)(x – a)2 + [a3 – a2(3a – 2) (2)
Vì 3a - 2 > 0, x – a > 0(do(1)) nên hàm số y = mX2 (với m = 3a - 2, X = x – a)
đồng biến khi X > 0
=> P là hàm đồng biến => Max P = 8120605021 tại x = 2010, y = 1
Min P = 2035205401 tại x = 1006, y = 1005
Có thể giả sử x > y, => 1006 ≤ x ≤ 2010
Đặt 2011 = a, khi đó
P = (x3 + y3) + 2xy = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = a3 – 3x(a – x)a + 2x(a – x)
= (3a – 2)x2 – (3a2 – 2a)x + a3(3a – 2)(x2 – ax) + a3
= (3a – 2)[(x – a)2 – a2] + a3
= (3a – 2)(x – a)2 + [a3 – a2(3a – 2) (2)
Vì 3a - 2 > 0, x – a > 0(do(1)) nên hàm số y = mX2 (với m = 3a - 2, X = x – a)
đồng biến khi X > 0
=> P là hàm đồng biến => Max P = 8120605021 tại x = 2010, y = 1
Min P = 2035205401 tại x = 1006, y = 1005
Câu hỏi liên quan
-
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E khắc với điểm A. Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ E lần lượt cắt các tiếp tuyến từ điểm A và B tại C và D.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Rút gọn A
-
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
-
Cho biểu thức:
A =
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Rút gọn A
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Cho Parabol (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
-
Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.