Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O) và một điểm M nằm trên (O). Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các đường thẳng AB, BC, CA. Chứng minh rằng H, I, K thẳng hàng.
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O) và một điểm M nằm trên (O). Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các đường thẳng AB, BC, CA. Chứng minh rằng H, I, K thẳng hàng.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Giả sử I nằm ngoài đường thẳng BC. H nằm giữa A, B. Suy ra I, H nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ AC đối nhau. Do đó, nếu 
thì H, K, I thẳng hàng (1).
Ta có các tứ giác HAMK, KMIC nội tiếp được
(vì 
). Còn tứ giác MABC thì nội tiếp (O). Một mặt ta có 
(2) hiển nhiên MC cắt HI tại một điểm nằm giữa K, I mà K nằm giữa H, I nên tia MC nằm giữa các tia MA, MI. Kết hợp với (2) ta có:
Suy ra 
Kết hợp với (1) ta có H, K, I thẳng hàng.
Giả sử I nằm ngoài đường thẳng BC. H nằm giữa A, B. Suy ra I, H nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ AC đối nhau. Do đó, nếu thì H, K, I thẳng hàng (1).
Ta có các tứ giác HAMK, KMIC nội tiếp được
(vì ). Còn tứ giác MABC thì nội tiếp (O). Một mặt ta có (2) hiển nhiên MC cắt HI tại một điểm nằm giữa K, I mà K nằm giữa H, I nên tia MC nằm giữa các tia MA, MI. Kết hợp với (2) ta có:
Suy ra
Kết hợp với (1) ta có H, K, I thẳng hàng.
Câu hỏi liên quan
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Chứng minh DM.CE=DE.CM
-
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Cho biểu thức A = (
- 
+ 
) : ( x - 2 + 
)Trả lời câu hỏi dưới đây:
Rút gọn biểu thức A
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2 - 12x – 14y < 0
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a
-
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
-
Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên