Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm J bán kính R = 2a (a > 0). Góc 
= 120°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a√3. Gọi I là trung điểm BC. Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ dieejnSABC theo a.
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm J bán kính R = 2a (a > 0). Góc = 120°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a√3. Gọi I là trung điểm BC. Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ dieejnSABC theo a.
Đáp án đúng:
Lời giải của Luyện Tập 365
Gọi I là trung điểm của BC
=> AI ⊥ BC => SI ⊥ BC.
Ta có AI là hình chiếu vuong góc của SI trên mặt phẳng (ABC).
Vậy góc giữa SI là hình chiếu của nó trên (ABC) là góc 
Tam giác ABC: BC = 2R sin A (định lý sin).
Mà R = 2a; 
= 120°
=> BC = 2R. sin 120° = 4a. 
= 2a√3
Tìm được: BC = 2a√3;
Lại có: I là trung điểm của BC nên BI = a√3;
Trong ∆SAI:
tan = 
= 
=> = 60°
∆ABI => AI = BI. cot 
= a√3. 
= a
Ta đã biết tâm mặt cầu ngoiaj tiếp SABC nằm trên trục của tam giác ABC ( đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC). Ở đây do tam giác ABC cân nên đường tròn ngoiaj tiếp của nó nằm trên AI, lại do bán kính của đường tròn đó R = 2a. Do đó tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC là J với Ạ = 2a ( như hình vẽ). Trục của tam giác ABC là đường thẳng Jt. Trong mặt phẳng (SAJ) dựng đường trung trực của SA cắt Jt tại O thì O chính là tâm cầu ngoại tiếp SABC. Bán kính cầu chính là OA. Xét tam giác AOJ có:
OA2 = OJ2 + JA2 = ( 
)2 + (2a)2 = 
=> OA = 
Gọi I là trung điểm của BC
=> AI ⊥ BC => SI ⊥ BC.
Ta có AI là hình chiếu vuong góc của SI trên mặt phẳng (ABC).
Vậy góc giữa SI là hình chiếu của nó trên (ABC) là góc
Tam giác ABC: BC = 2R sin A (định lý sin).
Mà R = 2a; = 120°
=> BC = 2R. sin 120° = 4a. = 2a√3
Tìm được: BC = 2a√3;
Lại có: I là trung điểm của BC nên BI = a√3;
Trong ∆SAI:
tan = = => = 60°
∆ABI => AI = BI. cot = a√3. = a
Ta đã biết tâm mặt cầu ngoiaj tiếp SABC nằm trên trục của tam giác ABC ( đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC). Ở đây do tam giác ABC cân nên đường tròn ngoiaj tiếp của nó nằm trên AI, lại do bán kính của đường tròn đó R = 2a. Do đó tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC là J với Ạ = 2a ( như hình vẽ). Trục của tam giác ABC là đường thẳng Jt. Trong mặt phẳng (SAJ) dựng đường trung trực của SA cắt Jt tại O thì O chính là tâm cầu ngoại tiếp SABC. Bán kính cầu chính là OA. Xét tam giác AOJ có:
OA2 = OJ2 + JA2 = ( )2 + (2a)2 =
=> OA =
Câu hỏi liên quan
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Giải phương trình:
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Tính tích phân I=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Tính tích phân I=
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
.