Cho một tứ giác ABCD và I là giao điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng nếu bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA mà bằng nhau thì ABCD là hình thoi.
Câu hỏi
Nhận biếtCho một tứ giác ABCD và I là giao điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng nếu bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác IAB, IBC, ICD, IDA mà bằng nhau thì ABCD là hình thoi.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Trước hết, ta chứng minh bài toán sau đây:
"Cho hai tam giác ABC và AMN với 
, các bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau. Chứng minh rằng nếu AB < AM thì AC > AN"
Dựng các tam giác đó như trong hình vẽ sau, trong đó giả sử AC < AN tiếp điểm của BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I.
Ta thấy ngay mọi điểm của (O) đều nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A. Trong đó M, N lần lượt nằm trên các tia đối của tia BA, CA. Suy ra đoạn thẳng MN nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, và do đó không có điểm chung với (O) trái với giả thiết và bài toán đã được chứng minh.
Giả sử IA < IC (1), áp dựng bài toán vừa nêu cho ∆ AIB và ∆ CID, ta có: IB > ID hay ID < IB. Lại áp dụng cho tam giác ∆ IAD và ∆ ICB, ta có IA > IC, mâu thuẫn với (1). Vậy IA > IC.
Chứng minh tương tự, ta cũng có IC > IA. Suy ra IA = IC. Một cách tương tự, ta cũng có IB = ID. Vì có cạnh IB chung và IA = IC nên hai tam giác IAB, ICB có diện tích bằng nhau, lại có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau nên chu vi bằng nhau
(vì p = 
= p').
Suy ra các cạnh còn lại bằng nhau: AB = BC. Vì hai tam giác đó được chọn bất kì nên AB = BC = CD = DA và ABCD là hình thoi.
Trước hết, ta chứng minh bài toán sau đây:
"Cho hai tam giác ABC và AMN với , các bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau. Chứng minh rằng nếu AB < AM thì AC > AN"
Dựng các tam giác đó như trong hình vẽ sau, trong đó giả sử AC < AN tiếp điểm của BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I.
Ta thấy ngay mọi điểm của (O) đều nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A. Trong đó M, N lần lượt nằm trên các tia đối của tia BA, CA. Suy ra đoạn thẳng MN nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, và do đó không có điểm chung với (O) trái với giả thiết và bài toán đã được chứng minh.
Giả sử IA < IC (1), áp dựng bài toán vừa nêu cho ∆ AIB và ∆ CID, ta có: IB > ID hay ID < IB. Lại áp dụng cho tam giác ∆ IAD và ∆ ICB, ta có IA > IC, mâu thuẫn với (1). Vậy IA > IC.
Chứng minh tương tự, ta cũng có IC > IA. Suy ra IA = IC. Một cách tương tự, ta cũng có IB = ID. Vì có cạnh IB chung và IA = IC nên hai tam giác IAB, ICB có diện tích bằng nhau, lại có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau nên chu vi bằng nhau
(vì p = = p').
Suy ra các cạnh còn lại bằng nhau: AB = BC. Vì hai tam giác đó được chọn bất kì nên AB = BC = CD = DA và ABCD là hình thoi.
Câu hỏi liên quan
-
Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K
-
Giải phương trình (1) khi m = -5
-
Cho hệ phương trình:
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a
-
AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
-
Cho biểu thức:
A =
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Rút gọn A
-
Tìm b để A =
-
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Từ một điểm A trên tiếp tuyến Mx của nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai AE ( E là tiếp điểm). Nối A với N cắt nủa đưởng tròn (O) ở B.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Chứng minh DM.CE=DE.CM
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k