Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5474

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm I của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng \frac{a}{6}. Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm I của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng \frac{a}{6}. Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.


A.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{11}(đvtt)
B.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{13}(đvtt)
C.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{16} (đvtt)
D.
VABCA’B’C’ = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{14} (đvtt)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : A(\frac{a}{2} ; 0 ; 0); B (- \frac{a}{2}; 0 ; 0);

C( 0 ; \frac{a\sqrt{3}}{2};0). Đặt BB’ = m; A’( \frac{a}{2}; 0 ; m); B’(- \frac{a}{2}; 0; m);

C’(0 ;\frac{a\sqrt{3}}{2}  ; m).

Gọi I là tâm ∆ABC =>I(0; \frac{a\sqrt{3}}{6} ;0); \overrightarrow{A'B}  = (-a;0;-m); \overrightarrow{A'C} = (- \frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};- m) => [\overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'C} ] = ( \frac{am\sqrt{3}}{2};- \frac{am}{2}; -\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} )

Chọn vectơ pháp tuyến của (A’BC) : \vec{n} = (m√3; - m; -a√3).

                                       

Phương trình mặt phẳng (A’BC) : m√3(x + \frac{a}{2}) – my - a√3z  = 0.

Theo giả thiết : d(I, (A’BC)) = \frac{|\frac{am\sqrt{3}}{2}-\frac{am\sqrt{3}}{6}|}{\sqrt{4m^{2}+3a^{2}}} = \frac{a}{6}

⇔ \frac{|2am\sqrt{3}|}{\sqrt{4m^{2}+3a^{2}}} = a ⇔ 2√3|m| = \sqrt{4m^{2}+3a^{2}}   ⇔ 12m2 = 4m2+ 3a2 => m = \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{8}}

Vậy VABCA’B’C’ = \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{8}}.\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a = \frac{3a^{3}}{8\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}a^{3}}{16} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết