Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3945

Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a√2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1.Tính V_{MA_{1}BC_{1}}.

Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có ABC là

Câu hỏi

Nhận biết

Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a√2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1.Tính V_{MA_{1}BC_{1}}.


A.
V_{MA_{1}BC_{1}} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}
B.
V_{MA_{1}BC_{1}} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}
C.
V_{MA_{1}BC_{1}} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}
D.
V_{MA_{1}BC_{1}} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

      

Chọn hệ trục Oxyz sao cho

     A(0 ; 0 ; 0); C(-a ; 0 ; 0); B(0 ; a ; 0); A1 (0 ; 0 ; a√2 )

=> M(0 ; 0 ; \frac{a\sqrt{2}}{2}); C1 (-a ; 0 ; a√2); N(-\frac{a}{2} ; \frac{a}{2} ; \frac{a\sqrt{2}}{2});

 \overrightarrow{BC_{1}} = (-a ; -a ; a√2); \overrightarrow{MN} (-\frac{a}{2} ; \frac{a}{2} ; 0); \overrightarrow{AA_{1}} = (0 ; 0 ; a√2 )

Ta có: \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BC_{1}} = \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AA_{1}} = 0

Vậy MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA và BC1.

Ta có: \overrightarrow{MA_{1}} = ( 0 ; 0 ; \frac{\sqrt{2}}{2})

           \overrightarrow{MB} = a( 0 ; 1 ; -\frac{\sqrt{2}}{2})    

           \overrightarrow{MC_{1}} = a( -1 ; 0 ; \frac{\sqrt{2}}{2})

[ \overrightarrow{MA_{1}},\overrightarrow{MB} ] = a2 (\frac{\sqrt{2}}{2} ; 0 ; 0)

=> | \overrightarrow{MA_{1}},\overrightarrow{MB}] \overrightarrow{MC_{1}} | = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}

=> V_{MA_{1}BC_{1}} = \frac{1}{6}| \overrightarrow{MA_{1}},\overrightarrow{MB}] \overrightarrow{MC_{1}} | = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết