Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2367

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A,AB = 2a,AC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau  và bằng a√2. Gọi M,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SI

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A,AB = 2a,AC = a. Các cạ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A,AB = 2a,AC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau  và bằng a√2. Gọi M,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SI


A.
VSABC = -\frac{1}{3}SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) d=\dpi{100} \frac{7}{a\sqrt{21}}
B.
VSABC = -\frac{1}{6}SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) \dpi{100} d=\frac{a\sqrt{3}}{7}
C.
VSABC = \frac{1}{6}SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) d=\dpi{100} \frac{3a}{7}
D.
VSABC = \frac{1}{3}.SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt) d(MH,SI) = HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

                          

Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Vì tam giác ABC vuông tại A nên  tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này chính là trung điểm H của BC

Do đó SH  ⊥ (ABC)

Áp dụng định lí pitago vào tam giác ABC ta có BC = \sqrt{4a^{2}+a^{2}} = a√5.

Áp dụng định lí pitago vào tam giác SHB ta có SH = \sqrt{2a^{2}-\frac{5a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Từ đó suy ra  VSABC = \frac{1}{3}.SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.( \frac{1}{2}.a.2a ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}( (đvtt)

Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đó 

d(MH,SI) = d(MH,(SBI)) = d(H,(SBI)). Kẻ HO vuông góc với BI tại O chính là điểm đối xứng với trung điểm E của AC qua H. Kẻ HK vuông góc với SO tại K

Khi đó HK ⊥ (SBI)

Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông SHO ta có

\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{HS^{2}}+\frac{1}{HO^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{7}{3a^{2}} ⇒ HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}

Vậy d(MH,SI) = HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết