Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6002

Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi miền hình tròn quay quanh (d) một vòng.

Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính

Câu hỏi

Nhận biết

Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi miền hình tròn quay quanh (d) một vòng.


A.
V = 2\pi ^{3} 
B.
V = 2
C.
V = 2\pi ^{2} 
D.
V = \pi ^{2} 
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Xét đường tròn tâm I(0 ; 1), bán kính bằng 1 trong hệ tọa độ Oxy. Thể tích vật thể cần tìm chính bằng thể tích vật thể do miền hình tròn tâm I(0 ; 1) quay quanh Ox sinh ra.

Phương trình đường tròn là: x2 + (y – 1)2 = 1 ⇒ y = 1 ± \sqrt{1-x^{2}} ; x ∈ [-1 ; 1].

Thể tích vật tròn xoay sinh ra bằng hiệu V1 – V2, với V1, V2 là thể tích hai vật thể tròn xoay đó.

Miền (EABCDE) quay quanh Ox. Miền (EAOCDOE) quay quanh Ox.

Miền (EABCDE): \left\{\begin{matrix} y=1+\sqrt{1-x^{2}}\\y=0 \\ x=-1;x=1 \end{matrix}\right.

Miền (EAOCDOE): \left\{\begin{matrix} y=1-\sqrt{1-x^{2}}\\y=0 \\x=-1;x=1 \end{matrix}\right.

V1 = \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx

V2 =  \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx

⇒ V = V1 – V2, = (\pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx - \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}})2 dx)

⇒ V = 4 \pi\int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}}) dx

Ta tính tích phân: I = \int_{-1}^{1}(1 + \sqrt{1-x^{2}}) dx

Đặt: x = sint , t ∈ [-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}] ; dx = costdt

Đổi cận:

x

-1

1

t

-\frac{\pi }{2}

  \frac{\pi }{2}

 Ta được: V = 4\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-sin^{2}t}.costdt = 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2cos2 tdt

= 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1 + cos2t)dt

= 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}dt + 2\pi\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos2t.dt = 2\dpi{100} \pi ^{2} ⇒ V = 2\dpi{100} \pi ^{2} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết