Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 982

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1


A.
x=y=z=0
B.
x=y=z=-1
C.
x=y=z=2
D.
x=y=z=-2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1

<=> (1- \frac{2x+2}{x^{2}+3}) + (1- \frac{2y+2}{y^{2}+3}) + (1- \frac{2z+2}{z^{2}+3}) ≥ 1

<=> \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+3} + \frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3} + \frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3} ≥ 1  (*)

Sử dụng giả thiết x+y+z=0 và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 

x2+3=\frac{2}{3}x2+\frac{1}{3}(y+z)2+3

≤ \frac{2}{3}x2+\frac{2}{3}(y2+z2)+3=\frac{1}{3}(2x2+2y2+2z2+9)

Suy ra \frac{(x-1)^{2}}{x^{^{2}}+3} ≥ \frac{3(x-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

Tương tự ta cũng có

\frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3} ≥ \frac{3(y-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}; 

\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3} ≥ \frac{3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

Suy ra VT(*) ≥ \frac{3(x-1)^{2}+3(y-1)^{2}+3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9} 

= \frac{3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

≥ \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9} = 1.

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=0

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết