Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 982

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1


A.
x=y=z=0
B.
x=y=z=-1
C.
x=y=z=2
D.
x=y=z=-2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{x+1}{x^{2}+3} + \frac{y+1}{y^{2}+3} + \frac{z+1}{z^{2}+3} ≤ 1

<=> (1- \frac{2x+2}{x^{2}+3}) + (1- \frac{2y+2}{y^{2}+3}) + (1- \frac{2z+2}{z^{2}+3}) ≥ 1

<=> \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+3} + \frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3} + \frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3} ≥ 1  (*)

Sử dụng giả thiết x+y+z=0 và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 

x2+3=\frac{2}{3}x2+\frac{1}{3}(y+z)2+3

≤ \frac{2}{3}x2+\frac{2}{3}(y2+z2)+3=\frac{1}{3}(2x2+2y2+2z2+9)

Suy ra \frac{(x-1)^{2}}{x^{^{2}}+3} ≥ \frac{3(x-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

Tương tự ta cũng có

\frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3} ≥ \frac{3(y-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}; 

\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3} ≥ \frac{3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

Suy ra VT(*) ≥ \frac{3(x-1)^{2}+3(y-1)^{2}+3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9} 

= \frac{3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}

≥ \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9} = 1.

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=0

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết