Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1173

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x}{(y+z)^{2}} + \frac{y}{(z+x)^{2}} + \frac{z}{(x+y)^{2}}.

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x}{(y+z)^{2}} + \frac{y}{(z+x)^{2}} + \frac{z}{(x+y)^{2}}.


A.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -\frac{4}{3}, đạt khi x = y = z = 1
B.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{4}{3}, đạt khi x = y = z = 1
C.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -\frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1
D.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Sử dụng bất đẳng thức (a+b)2 ≤ 2(a2 +b2) ta có

P ≥ \frac{1}{2}(\frac{x}{y^{2}+z^{2}} + \frac{y}{z^{2}+x^{2}} + \frac{z}{x^{2}+y^{2}}) = \frac{1}{2}(\frac{x}{3-x^{2}} + \frac{y}{3-y^{2}} + \frac{z}{3-z^{2}})

= \frac{1}{2}(\frac{x^{2}}{x.(3-x^{2})} + \frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})} + \frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})})

Vì x, y, z dương và x2 + y2 + z2 = 3 nên x ∈ (0;√3)

Xét hàm f(x) = x(3-x2) trên (0;√3).

Ta có f'(x) = -3x2+3; f'(x)=0 ⇔ x=1 và f'(x)>0 ⇔ x∈(0;1)

Suy ra f(x) ≤ f(1) = 2 với mọi x∈(0;√3). Do đó \frac{x^{2}}{x(3-x^{2})} ≥ \frac{x^{2}}{2}.

Tương tự ta cũng \frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})}≥\frac{y^{2}}{2} và \frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})} ≥ \frac{z^{2}}{2}

Từ đó suy ra P ≥ \frac{1}{2}\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2} = \frac{3}{4}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết