Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2398

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = \frac{1}{2+x+yz} + \frac{1}{2+y+zx} + \frac{1}{2+z+xy}

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = \frac{1}{2+x+yz} + \frac{1}{2+y+zx} + \frac{1}{2+z+xy}


A.
P = \frac{3}{4}
B.
P = -\frac{3}{4}
C.
P = \frac{3}{8}
D.
P = -\frac{3}{8}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 3xyz = 4(x + y + z) ≥ 4.3\sqrt[3]{xyz} . Suy ra xyz ≥  8 . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức côsi ta được 

2 + x + yz ≥ 2\sqrt{2x} + yz ≥ 2\sqrt{2\sqrt{2x}.yz} = 2\sqrt{2\sqrt{2xyz}.\sqrt{yz}} ≥ 4√2 .\sqrt[4]{yz}

Suy ra \frac{1}{2+x+yz} ≤ \frac{1}{4\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt[4]{yz}} ≤ \frac{1}{4}.\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{yz}} \right )  ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{yz} \right ) ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{yz} \right )

Tương tự ta cũng có \frac{1}{2+y+zx} ≤  \frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{zx} \right ) , \frac{1}{2+y+zx} ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{xy} \right ).

Do đó P ≤ \frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right ) = \frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}+\frac{3}{4} \right ) = \frac{3}{8}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{3}{8},đạt được khi x = y = z = 2

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết