Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1981

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện  x + y + z = 3. Chứng minh rằng \frac{4+\sqrt{x}}{4-x} + \frac{4+\sqrt{y}}{4-y} + \frac{4+\sqrt{z}}{4-z} ≥ 5

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Ch

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện  x + y + z = 3. Chứng minh rằng \frac{4+\sqrt{x}}{4-x} + \frac{4+\sqrt{y}}{4-y} + \frac{4+\sqrt{z}}{4-z} ≥ 5


A.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2; y = -1, z = 2
B.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 3, y = 1, z =-1
C.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =1, y = -2 , z = 4
D.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có VT = 2 (\frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z}) + \frac{2+\sqrt{x}}{4-x} + \frac{2+\sqrt{y}}{4-y} + \frac{2+\sqrt{z}}{4-z}

= 2(\frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z}) + ( \frac{1}{2-\sqrt{x}} + \frac{1}{2-\sqrt{y}} + \frac{1}{2-\sqrt{z}})    (1)

Sử dung bất đẳng thức Côsi, ta có

(\frac{1}{4-x} + \frac{4-x}{9}) + (\frac{1}{4-y} + \frac{4-y}{9}) + (\frac{1}{4-z} + \frac{4-z}{9}) ≥ 2

Suy ra \frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z} ≥ 2 - (\frac{4-x}{9}+ \frac{4-y}{9}+ \frac{4-z}{9}) =1 (2)

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có 2√a ≤ a+1. Áp dụng bất đẳng thức này ta được

\frac{1}{2-\sqrt{x}} + \frac{1}{2-\sqrt{y}} + \frac{1}{2-\sqrt{z}} = \frac{1}{2-\frac{2x}{2\sqrt{x}}} + \frac{1}{2-\frac{2y}{2\sqrt{y}}} + \frac{1}{2-\frac{2z}{2\sqrt{z}}}

= \frac{1}{2-\frac{2x}{1+x}} + \frac{1}{2-\frac{2y}{1+y}} + \frac{1}{2-\frac{2z}{1+z}} ≥ \frac{x+1}{2} + \frac{y+1}{2} + \frac{z+1}{2} = 3 (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra điều phải chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết