Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 795

  Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn  \left\{\begin{matrix} abc=1\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c \end{matrix}\right. .  Chứng minh rằng \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

  Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn  \left\{\begin{matrix} abc=1\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c \end{matrix}\right. .  Chứng minh rằng \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}


A.
a3 + b3 + c3 > a3b3 + b3c3 + c3a3 
B.
a3 + b3 + c3 ≥  a3b3 + b3c3 + c3a3 
C.
a3 + b3 + c3 ≤ a3b3 + b3c3 + c3a3 
D.
a3 - b3 + c3 ≤ a3b3 + b3c3 - c3a3 
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

BĐT cần chứng minh tương đương a3 + b3 + c3 ≤ a3b3 + b3c3 + c3a3 

Từ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≥ a + b + c và abc = 1 ⇒ ab + bc + ca  ≥ a + b + c 

⇔ a + b + c - (ab + bc + ca) ≤ 0 ⇒  abc + a + b + c - (ab + bc + ca) - 1  ≤ 0

⇔(a -1)(b - 1)(c - 1) ≤  0. Do x2 + x + 1 > 0 ∀ x ∈ R, nên

(a2 + a + 1)(a – 1)(b2 + b + 1)(b – 1)(c2 + c + 1)(c – 1)  ≤ 0

⇔(a3 -1)(b3 -1)(c3 -1)  ≤ 0

⇔a3b3c3 + a3 + b3 + c3 – (a3b3 + b3c3 + c3a3) – 1 ≤  0 

⇒a3 + b3 + c3 ≤ a3b3 + b3c3 + c3a3 (đpcm)

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết