Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6294

Cho các số thực a,b∈(0;1) Chứng minh rằng: \frac{ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^{2}} < \frac{1}{4}

Cho các số thực a,b∈(0;1) Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực a,b∈(0;1) Chứng minh rằng: \frac{ab(1-a)(1-b)}{(1-ab)^{2}} < \frac{1}{4}


A.
\frac{u^{2}}{(2+u)^{2}}<\frac{1}{4}
B.
\frac{u^{2}}{(1-u)^{2}}<\frac{1}{4}
C.
\frac{u^{2}}{(1+u)^{2}}<\frac{1}{4}
D.
\frac{u^{2}}{(1+u)^{2}}<\frac{1}{2}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \sqrt{ab}=u; a+b=v, khi đó bất đẳng thức đã cho được viết thành:

\frac{u^{2}(1-v+u^{2})}{(1-u^{2})^{2}} <\frac{1}{4}   (*)

Do v ≥2u nên \frac{u^{2}(1-v+u^{2})}{(1-u^{2})^{2}} < \frac{u^{2}(1-2u+u^{2})}{(1-u^{2})^{2}} = \frac{u^{2}}{(1-u^{2})^{2}}

Mặt khác, vì 0<u < \frac{1}{2}, suy ra \frac{u^{2}}{(1+u)^{2}}<\frac{1}{4}

Vậy bất đẳng thức (*) được chứng minh

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết