Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7029

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤\frac{4}{3} Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y.+1}+\frac{1}{z+1} dấu "=" xảy ra khi:

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤\frac{4}{3} Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y.+1}+\frac{1}{z+1} dấu "=" xảy ra khi:


A.
x=y=z=\frac{1}{3}
B.
x=y=z=\frac{1}{2}
C.
x=y=z=4
D.
x=y=z=\frac{4}{3}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

32=(\sqrt{x+1}.\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{y+1}.\frac{1}{\sqrt{y+1}} +\sqrt{z+1}.\frac{1}{\sqrt{z+1}})^{2} 

≤ A(x+y+z+3)

=> A≥ \frac{9}{x+y+z+3}. Mặt khác giả thiết <=> x2+y2+z2-(x+y+z)≤\frac{4}{3}

Dễ dàng chứng minh được  x2+y2+z2 ≥ \frac{1}{3}(x+y+z)2 nên nếu ta đặt t=x+y+z thì

\frac{1}{3}t2-t≤\frac{4}{3} <=> 0<t≤4 (vì x,y,z dương).

Hơn nữa hàm số y=\frac{1}{t+3} nghịch biến nên A≥\frac{9}{4+3}=\frac{9}{7}. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix} x+y+z=4\\x+1=y+1=z+1 \end{matrix}\right. <=> x=y=z=\frac{4}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết