Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7029

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤\frac{4}{3} Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y.+1}+\frac{1}{z+1} dấu "=" xảy ra khi:

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤\frac{4}{3} Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y.+1}+\frac{1}{z+1} dấu "=" xảy ra khi:


A.
x=y=z=\frac{1}{3}
B.
x=y=z=\frac{1}{2}
C.
x=y=z=4
D.
x=y=z=\frac{4}{3}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

32=(\sqrt{x+1}.\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{y+1}.\frac{1}{\sqrt{y+1}} +\sqrt{z+1}.\frac{1}{\sqrt{z+1}})^{2} 

≤ A(x+y+z+3)

=> A≥ \frac{9}{x+y+z+3}. Mặt khác giả thiết <=> x2+y2+z2-(x+y+z)≤\frac{4}{3}

Dễ dàng chứng minh được  x2+y2+z2 ≥ \frac{1}{3}(x+y+z)2 nên nếu ta đặt t=x+y+z thì

\frac{1}{3}t2-t≤\frac{4}{3} <=> 0<t≤4 (vì x,y,z dương).

Hơn nữa hàm số y=\frac{1}{t+3} nghịch biến nên A≥\frac{9}{4+3}=\frac{9}{7}. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix} x+y+z=4\\x+1=y+1=z+1 \end{matrix}\right. <=> x=y=z=\frac{4}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết