Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7029

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤\frac{4}{3} Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y.+1}+\frac{1}{z+1} dấu "=" xảy ra khi:

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤\frac{4}{3} Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y.+1}+\frac{1}{z+1} dấu "=" xảy ra khi:


A.
x=y=z=\frac{1}{3}
B.
x=y=z=\frac{1}{2}
C.
x=y=z=4
D.
x=y=z=\frac{4}{3}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

32=(\sqrt{x+1}.\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{y+1}.\frac{1}{\sqrt{y+1}} +\sqrt{z+1}.\frac{1}{\sqrt{z+1}})^{2} 

≤ A(x+y+z+3)

=> A≥ \frac{9}{x+y+z+3}. Mặt khác giả thiết <=> x2+y2+z2-(x+y+z)≤\frac{4}{3}

Dễ dàng chứng minh được  x2+y2+z2 ≥ \frac{1}{3}(x+y+z)2 nên nếu ta đặt t=x+y+z thì

\frac{1}{3}t2-t≤\frac{4}{3} <=> 0<t≤4 (vì x,y,z dương).

Hơn nữa hàm số y=\frac{1}{t+3} nghịch biến nên A≥\frac{9}{4+3}=\frac{9}{7}. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix} x+y+z=4\\x+1=y+1=z+1 \end{matrix}\right. <=> x=y=z=\frac{4}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết