Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 34547

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng : \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng :

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng :

\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: 

\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}

Lại có: (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})  ≥ 9

=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c} \geq \frac{9}{2} ;

(a+b+c)^{2}+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}  \geq 2.\frac{4}{9}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 8 

=> (a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=(a+b+c)^{2}+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}+\frac{65}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2} 

                                          ≥ 8+\frac{65}{81}.\frac{81}{4}=\frac{97}{4}

Vậy

 \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = \frac{2}{3}

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB

    Chi tiết
  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2.

    Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1  và x2. Chứng minh rằng:  x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông

    Chi tiết
  • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Chi tiết
  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết
  • Tìm b để A =

    Tìm b để A = frac{5}{2}

    Chi tiết