Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 34547

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng : \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng :

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 2. Chứng minh rằng :

\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: 

\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}

Lại có: (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})  ≥ 9

=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c} \geq \frac{9}{2} ;

(a+b+c)^{2}+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}  \geq 2.\frac{4}{9}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 8 

=> (a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=(a+b+c)^{2}+\frac{16}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}+\frac{65}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2} 

                                          ≥ 8+\frac{65}{81}.\frac{81}{4}=\frac{97}{4}

Vậy

 \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \frac{\sqrt{97}}{2}

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = \frac{2}{3}

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .

    Chi tiết
  • Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AC

    Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Giải phương trình (1) khi m = -5

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết
  • Tính giá trị biểu thức của A với x =

    Tính giá trị biểu thức của A với x = frac{1}{2}

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết
  • Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a

    Chi tiết
  • Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k

    Chi tiết